Общее свойство фигур что это

Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости

1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства

2. Углы, параллельные и перпендикулярные прямые

3. Параллельные и перпендикулярные прямые

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг, шар – геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка, круг.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.

Рассмотрим некоторые понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, их определения и свойства, принимая их без доказательства.

Угол– это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и точки на сторонах угла: ÐА,Ð(k,l),ÐАВС.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым.Угол, меньший прямого, называетсяострым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называетсятупым.

Плоский угол– это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными.

О

Углы, которые рассматриваются в планиметрии, не превосходят развернутого.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180º. Справедливость этого свойства вытекает их определения смежных углов.

Два угла называются вертикальными,если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вертикальные углы равны.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Если прямая aпараллельна прямойb, то пишутa║b.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности.

Признаками называют теоремы, в которых устанавливается наличие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной ситуации. В частности, необходимость рассмотрения признаков параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике требуется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определением.

Рассмотрим следующие признаки параллельности прямых:

1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

2. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

Справедливо утверждение, обратноевторому признаку параллельности прямых: если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180º.

Важное свойство параллельных прямых раскрываются в теореме,носящей имя древнегреческого математикаФалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишутa^b.

Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение в двух теоремах:

1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую, и только одну.

2. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющей концом их точку пересечения. Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстояниемот точки до прямой.

Расстоянием между параллельными прямыминазывается расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой.

Источник

Общие и отличительные свойства объектов. 3-й класс

Класс: 3

Форма урока – диалог с опорой на знания и опыт учащихся, фронтальная работа (решение информационных задач в рабочей тетради)

Тип урока – урок объяснения

Стратегия – опережающая, развивающая.

Ход урока

1. Организационный момент

– Добрый день, ребята! Добрый день. уважаемые гости. Я хочу, чтобы у всех сегодня было доброе настроение. Давайте улыбнёмся друг другу. И будем по-доброму относиться друг к другу, по-доброму работать, мыслить. Не зря народная мудрость гласит:

“Где доброта, там красота”
– Пусть это станет девизом нашего урока!

2. Повторение материала предыдущей темы

а) – Предлагаю проверить домашнее задание и провести игру-разминку.

Правила игры следующие:

К доске выходят четыре ученика и получают карточки с названием предметов. Никто никому не говорит, какая карточка ему досталась. Я называю свойство, а ученики поднимают руки, если их объект этим свойством обладает. Затем мы должны будем отгадать, какой объект изображён на карточке у каждого из них. Договорились?

Яблоко
Арбуз
Машина
Самолёт

Свойства объектов:
круглый, может летать, съедобный, вкусный, сочный, гудит, перевозит людей, большой.

– Кто догадался, какой предмет у каждого ученика?
– Что помогло вам в этом (свойства предмета)

– человека;
– собаки;
– кошки.

Назовите несколько объектов, которые обладают свойством “круглый”, “прямоугольный”, “бумажный”, “стеклянный”.
Назовите какое-нибудь свойство объекта с именем “телевизор”, “магнитофон”, “компьютер”

3. Обобщение сведений, известных учащимся, с выходом на новый материал

– Как вы поняли из предыдущих уроков, у каждого объекта множество свойств. Но если мы будем сравнивать объекты между собой, то увидим, что свойства объекта бывают общими и отличительными. Этой теме и посвящён наш сегодняшний урок.

– Исходя из темы как думаете, какие информационные задачи мы сегодня будем решать, т. е. что нам предстоит делать?

– Посмотрите на экран и скажите, чем похожи самолёт и пароход? (Это средства передвижения, и то, и другое транспорт).
– Можно сказать, что это общее свойство данных объектов? (можно)
– А теперь скажите, чем они различаются? (Самолёт воздушный транспорт, а пароход – водный)
– Правильно, это их отличительные свойства: плавать по воде и летать по воздуху.
– Теперь давай те рассмотрим сразу несколько объектов – например, учеников нашего класса. Давайте все встанем. Какое общее свойство у всех? (Быть учениками, быть детьми).
– Теперь выделим из данной группы объекты с отличительным свойством “быть девочкой”. Девочки сядьте. Для девочек это свойство общее или отличительное? (Общее)
– Теперь выделим из группы девочек объекты, с отличительным свойством “быть выше всех”. Пусть такие девочки встанут. Это их отличительное свойство.
– Садимся на места. Давайте обсудим то, что мы наблюдали. Как видим, одно и то же свойство “быть девочкой” может быть и общим, и отличительным. Оно отличительное, когда группа девочек входит в более широкую группу объектов – в класс, в котором кроме них есть ещё и мальчики.
– Рассмотрим ещё один пример. Внимание на экран

– Как назвать одним понятием изображённые на слайде объекты?(геометрические фигуры)
– Решим такую задачу: выделим из представленных на этом рисунке геометрических фигур такие, которые имеют свойства “иметь углы”
– Это отличительное свойство выделенных фигур от остальных.
– Рассмотрим получившуюся новую группу:

– Заметим, что теперь свойство “иметь углы” уже не отличительное, а общее, поскольку все фигуры этой группы имеют углы.
– Теперь выделим из данной группы объекты с отличительным свойством “иметь ровно три угла”. Такой объект в этой группе один – треугольник. Слайд 8
– Проанализируем проделанную работу.
– Мы видим, что одно и то же свойство может быть либо общим для группы объектов, либо отличительным.
– Так свойство “иметь углы” является для квадратов, прямоугольников и треугольников общим. Это же свойство будет отличительным для квадратов, прямоугольников и треугольников, если в состав группы ввести круги и овалы.

4. Физкультминутка

5. Продолжение работы над темой урока с закреплением полученных знаний

– В нашей работе встретились такие ключевые понятия как

– Кто может дать определение этим понятиям? (ответы детей)
– А теперь давайте обратимся к учебнику и познакомимся с определением, которое даёт этим понятием Н.В. Матвеева

Работа с учебником (с. 95)

– Итак свойства объектов бывают общие и отличительные.

– Назовите хотя бы одно общее свойство у таких разных объектов, как луна и мяч.
– Назовите отличительные свойства данных объектов.
– А теперь посмотрим как эти знания могут помочь нам на других уроках, например на уроке русского языка.

– Объектами выступают слова: картина, квартира, корова
– Найдите общие и отличительные свойства.

(Общие свойства: все словарные слова,
все имена существительные,
все трёхсложные,
все начинаются с один. звука
все имеют окончание а
Отличаются безударными гласными а и о)

Литературное чтение: “Курочка Ряба”, “Теремок”, “Золотая рыбка”

(Общие свойства – одна жанровая
принадлежность – сказки
Отличия: по классификации)

– Попробуйте сами привести подобные задания например с числами (заготовка 3 12 15 18) Слайд 14

6. Психологическая пауза

Ох, как хочется трудиться!
Делать всё охота.
Чтоб трудом своим гордиться,
Пусть кипит работа.

Я и бодр, и силён,
Всю работу сделаю.
Свою волю покажу.
Слово для себя сдержу.

7. Выполнение заданий в рабочей тетради

с. 26–27, с. 30–31 (табличка)

8. Обобщение и закрепление. Подведение итогов

– А сейчас – заключительный разговор. Подведём итог нашей работе.
– Что узнали нового?
– Что получилось легко?
– В какие моменты урока испытывали трудности?
– Как вы сможете использовать свой новый опыт?

9. Комментарии к домашнему заданию

Выполнить упражнения в рабочей тетради к §16.

10. Рефлексия

Я работал с ______________ настроением.
Я _____________ доволен собой.
Я бы хотел стать более ____________.

– Дорогие ребята, мне хочется поблагодарить вас за активность и инициативу. Наша совместная работа заканчивается, но наше сотрудничество продолжается.
– Я хочу похлопать Насте, потому что мне понравилось, как она работала сегодня на уроке.
– Настя, а чья работа понравилась тебе? (Поочерёдно дети хлопают друг другу, пока весь класс не будет хлопать последнему ученику)

Источник

Основные геометрические фигуры

Основные понятия

Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.

Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.

Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.

Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.

Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Периметром принято называть сумму длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.

Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.

Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.

Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.

Примеры объемных геометрических фигур:

Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.

Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.

Найти площадь квадрата легко:

Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.

Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти площадь трапеции:

S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.

Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.

P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

Общие формулы расчета площади фигур:

Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.

P = 4 × a, где a — длина стороны.

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

Треугольник

Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.

Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.

P = 3 × a, где a — длина стороны.

Круг — это это часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Окружность — это граница круга.

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.

Формулы площади круга:

Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.

L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Источник

Геометрические фигуры — виды с названиями и основные свойства

Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.

Общая характеристика

Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.

Основные понятия о составляющих

Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.

Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.

Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).

Виды линий:

Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.

Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.

Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.

Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.